Une matrice ressemble à un tableau de nombres et se comporte comme une instruction. Multipliez un point par elle et le point bouge : tourné, étiré, cisaillé ou aplati. Voilà pourquoi les matrices surgissent partout où beaucoup de choses changent ensemble - images, statistiques, ingénierie, apprentissage automatique - et pourquoi les opérations ici ont cette forme. L’addition combine deux instructions ; le produit les exécute l’une après l’autre.

En trois étapes

1. 1 Réglez la taille de chaque matrice, puis remplissez les cases.
2. 2 Choisissez l’opération. Celles qui ne conviennent pas à vos dimensions le disent au lieu de deviner.
3. 3 Lisez la grille de résultat. Un déterminant renvoie un seul nombre, pas une matrice.

Pourquoi A × B n’est pas B × A

Le produit matriciel est une composition : A × B signifie faire d’abord B, puis A. L’ordre compte pour la même raison que dans le monde physique - tourner un livre puis le retourner ne mène pas où mène le retourner puis le tourner. L’outil respecte fidèlement cet ordre, d’où le fait qu’échanger A et B change presque toujours le résultat, et rende parfois le produit tout simplement impossible.

Ce que le déterminant vous dit

Le déterminant mesure de combien une matrice met à l’échelle une aire ou un volume, et son signe dit si l’orientation est inversée. Un déterminant de 3 triple les aires ; un déterminant de -1 conserve la taille mais met tout en miroir. Un déterminant nul signifie que la transformation écrase l’espace en quelque chose de plus mince - un plan sur une droite, une droite sur un point - et de l’information est perdue : c’est précisément pour cela qu’aucun inverse ne peut la ramener.