Que m’apprend le sommet ?

C’est le point le plus haut ou le plus bas de la courbe, ce qu’il vous faut dès que la question porte sur un maximum ou un minimum : hauteur maximale d’un ballon lancé, prix qui maximise le profit, matière minimale pour un volume donné. L’axe de symétrie est la verticale qui y passe, et les deux racines sont à égale distance de part et d’autre.

Pourquoi n’ai-je parfois qu’une seule racine ?

Quand le discriminant vaut exactement zéro, les deux racines tombent au même endroit : il y a une valeur au lieu de deux. Il s’agit d’une racine double, et la parabole touche l’axe à cet endroit au lieu de le traverser. Les enseignants demandent souvent de l’écrire deux fois ; c’est le même nombre.

Factorise-t-il aussi l’équation ?

Pas comme étape séparée, mais les racines vous le donnent directement : si elles valent p et q, l’équation se factorise en a(x − p)(x − q). Avec des racines 2 et 1 et a égal à 1, cela donne (x − 2)(x − 1). Quand les racines sont des décimaux peu amènes, la lecture honnête est que l’expression ne se factorise pas proprement sur les entiers.

Et si je saisis zéro pour a ?

L’équation cesse d’être du second degré et devient une droite ; l’outil le signale et résout le cas linéaire. Ce n’est pas un détail : la formule standard divise par 2a, donc avec a nul elle diviserait par zéro et produirait n’importe quoi. Nommer le cas est plus utile qu’afficher un tiret.

Résoudre une équation du second degré - racines, discriminant, sommet

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Résolution d’équation du second degré

x² + x + = 0

Racines —

Discriminant —

Sommet —

Axe de symétrie —

Lire une équation du second degré

Toute équation du second degré dessine une parabole, et la résoudre revient à trouver où cette courbe rencontre l’axe des x. Parfois elle le coupe deux fois, parfois elle l’effleure, parfois elle l’évite complètement. Le discriminant vous dit lequel des trois cas s’applique avant même de calculer une racine.

En trois étapes

1 Réarrangez votre équation pour tout mettre d’un côté et finir par = 0. C’est seulement alors que a, b et c ont le sens attendu par la formule.
2 Saisissez les trois coefficients. Un terme absent vaut zéro : dans x² − 4 = 0, b = 0.
3 Regardez d’abord le discriminant : positif signifie deux racines, nul une seule, négatif des racines complexes.

Ce que décide le discriminant

Le discriminant vaut b² − 4ac, la partie sous la racine dans la formule. Une valeur négative reviendrait à prendre la racine d’un nombre négatif, sans réponse réelle : c’est exactement le cas où la parabole évite l’axe. Le signe dit tout, il mérite donc d’être lu avant les racines.

Les racines complexes sont aussi des réponses

Quand le discriminant est négatif, ce solveur écrit la paire sous la forme a ± bi au lieu d’afficher un tiret. Dire « pas de solution » serait faux : l’équation a deux solutions, elles ne sont simplement pas sur la droite des réels. En électronique et en traitement du signal, ces racines sont la partie utile de la réponse, pas un échec.

Équations du second degré - questions fréquentes

Ramenez d’abord tout d’un côté. De 2x² = 5x − 3 vous soustrayez le membre de droite et obtenez 2x² − 5x + 3 = 0, donc a = 2, b = −5 et c = 3. Ce réarrangement fait partie de la résolution, et le faire soi-même est ce qui garde les signes justes.

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