Trois coureurs qui finissent premier, deuxième et troisième, ce n’est pas la même question que trois coureurs qualifiés en finale. Les deux partent du même ensemble et en prennent autant, mais l’une compte des ordres et l’autre des groupes — et la première réponse est toujours la plus grande, exactement du nombre de façons de permuter les élus entre eux. Cette page affiche les deux à la fois, pour que le choix soit visible plutôt que supposé.

En trois étapes

1. 1 Saisissez n - combien d’éléments il y a à choisir.
2. 2 Saisissez r - combien vous en prenez.
3. 3 Lisez la ligne qui correspond à votre question : l’ordre compte, ou non.

La seule question qui décide de la formule

Demandez-vous si permuter deux des éléments choisis donne un résultat différent. Or et argent échangés, c’est un autre résultat : les places de podium sont donc des permutations. Deux numéros de loterie échangés, c’est le même ticket : les tirages sont donc des combinaisons. Tout le reste découle de ce seul test, et se tromper dessus est l’erreur la plus fréquente de ce coin des mathématiques — le plus souvent en comptant chaque groupe plusieurs fois.

Pourquoi ces nombres deviennent si vite énormes

Les permutations croissent plus vite que presque tout en arithmétique ordinaire. Dix objets se rangent de 3 628 800 façons ; quinze, de plus de mille milliards. Cette croissance explique qu’un cadenas à quatre molettes paraisse sûr et qu’en battant un jeu de cartes on obtienne de façon fiable un ordre que personne n’a jamais vu. Elle explique aussi pourquoi les réponses exactes deviennent vite impossibles à l’écran, et l’outil le dit plutôt que d’afficher des chiffres dont il ne répond pas.